1.2. Нормальное распределение.

         В следующем разделе в качестве примера приведено часто  встречающееся нормальное (или наиболее вероятное) распределение. Этот тип ММР реализуется при некоторых видах полимеризации и всегда при деструкции полимеров.

Нормальное распределение по длинам можно получить в том гипотетическом случае, если соединить все мономерные звенья системы в одну линейную цепь и затем разрушить по закону случая какую-то часть связей e. Тогда вероятность сохранения связи в цепи равна 1-e, а вероятность нахождения цепи из Р звеньев  - W(P) ~ (1 - e)^P-1e.

         Откуда числовая доля цепей из Р звеньев - r_n (P)

r_n (P) = A (1 - e)^P-1e.

где А - коэффициент пропорциональности.

         Представим (1 -e)^Р  в виде е^-u, где -u = P^.ln(1-e), если ln(1-e) разложить в ряд, то при e << 1 всеми членами, кроме первого, можно пренебречь, тогда u » P e и ( 1 - e )^Р = е^-u»e^P.ln(1-e) и r_n(P)» A^.e^.(1-e)^P» A^.e^.e^-Pe.

         Коэффициент А находим из условия нормировки:

, ,

т.к.

, то А = 1 или

         Массовая доля цепей из Р звеньев в этом случае выражается следующим образом:

,  для e<< 1

Из условия нормировки:

Отсюда А = e, а

для случая нормального распределения (рис.4).

         Определим значения  и  для нормального распределения.

Из определения этих величин следует, что

Дважды интегрируя по частям, получим  = 1/e.

Аналогичным образом для  имеем -

Откуда следует, что ширина нормального распределения  

Рис.4. Числовая r_n (P) (а) и массовая r_w (P) (б) функции нормального распределения.